Die Lunge als RC-Ersatzschaltbild: PEEP, CPAP und ein drehzahlgeregeltes Gebläse

Inhalt

1. Einleitung
2. Die pneumatisch-elektrische Analogie
3. Einkompartimentmodell: Laden und Entladen
4. PEEP im Ersatzschaltbild
5. Obere Atemwege als Starling-Widerstand
6. Das Gebläse als drehzahlgesteuerte Quelle
7. Simulation: Atmen durch Drehzahlmodulation
8. Diskussion und Grenzen
9. Literatur

1 Einleitung

Ein Ersatzschaltbild ersetzt die Strömungsmechanik der Atemwege durch wenige konzentrierte Elemente, deren Verhalten jede Elektroingenieurin kennt. Das spart keine Physik, es macht sie nur rechenbar: Die gleiche Differentialgleichung, die einen Kondensator beschreibt, beschreibt auch die passive Belüftung einer Lunge.

Die Idee ist alt. Rohrer zeigte 1915, dass der Strömungswiderstand der Atemwege vom Volumenstrom abhängt, und gab die bis heute verwendete Form R = K ₁ + K ₂ ·|Q| an [1]. Otis, Fenn und Rahn beschrieben 1950 die Atemarbeit als Summe aus elastischer und resistiver Arbeit [2], also genau die Aufteilung in Kondensator und Widerstand. Mead und Whittenberger maßen 1953 Compliance und Widerstand während der Spontanatmung [3]. Bates, Rossi und Milic-Emili zeigten 1985, dass schon das Verhalten bei konstantem Einatemfluss mehr als ein einziges RC-Glied verlangt [4]; Bates fasste die inverse Modellierung der Lungenmechanik 2009 in einer Monographie zusammen [5].

In der Beatmungstechnik ist dieses Modell als Bewegungsgleichung des respiratorischen Systems Standard [6, 7, 8]. Dieser Beitrag führt es für die CPAP-Therapie weiter: mit PEEP als Gleichspannungsquelle, mit den kollabierbaren oberen Atemwegen als Starling-Widerstand [9, 10, 11] und mit einem drehzahlgeregelten Radialgebläse als physikalischer Quelle anstelle einer idealen Spannungsquelle mit Schalter.

2 Die pneumatisch-elektrische Analogie

Die Analogie ist streng, solange die Elemente linear sind und sich als konzentrierte Elemente beschreiben lassen: Druckdifferenzen treiben Volumenströme wie Spannungen Ströme treiben, und das Volumen wird integriert wie Ladung. Der Atmosphärendruck ist das Massepotential.

Die Energie im Kondensator, ½·V²/C, ist die elastische Atemarbeit; die im Widerstand umgesetzte Leistung R·Q² ist die resistive Atemarbeit pro Zeit – genau die Aufteilung von Otis et al. [2].

Abb. 1 zeigt die Zuordnung an einer schematischen Lunge. Die Luftröhre liegt als Widerstand R _T in Reihe, jeder Hauptbronchus bildet einen Zweigwiderstand (R ₁ , R ₂ ), jeder Lungenflügel einen Kondensator (C ₁ , C ₂ ). Diese Struktur geht auf Otis et al. zurück, die mit parallelen Lungeneinheiten unterschiedlicher Zeitkonstanten die ungleiche Verteilung der Ventilation erklärten [15]; ausführlich behandelt sie Bates [5]. Li et al. stellen Ein- und Zwei-Kompartiment-Varianten nebeneinander [14]. Ab Abschnitt 3 rechnen wir mit einem einzigen RC-Glied (Parameter siehe dort).

Zeitkonstanten des Zwei-Kompartiment-Modells. Weil beide Zweige über den gemeinsamen Widerstand R _T gekoppelt sind, hat das Netzwerk nicht zwei unabhängige Zeitkonstanten (R _T + R _k )·C _k , sondern zwei gekoppelte. Mit x _k = q _k /C _k und der Knotenspannung v ergibt sich ein lineares System zweiter Ordnung; die Zeitkonstanten sind die negativen Kehrwerte seiner Eigenwerte:

Mit den Werten aus Abb. 2 (R _T = 3, R ₁ = 2, R ₂ = 2,5 cmH₂O·s/L; C ₁ = 0,05, C ₂ = 0,04 L/cmH₂O) erhält man τ _langsam = 0,37 s und τ _schnell = 0,10 s; die naheliegende Näherung (R _T + R _k )·C _k lieferte 0,25 s bzw. 0,22 s und ist daher nicht zulässig. Weil hier R ₁ C ₁ = R ₂ C ₂ = 0,10 s gilt, steigen die Drücke beider Flügel gleich an (die Volumina im Verhältnis C ₁ : C ₂ ): Bei symmetrischen Anfangsbedingungen regt die gemeinsame Quelle nur die langsame Mode τ = (R _T + R ₁ ∥R ₂ )·(C ₁ + C ₂ ) = 0,37 s an; die schnelle Mode beschreibt einen Druck- und Volumenausgleich zwischen den Flügeln (Pendelluft [15]). Sie tritt auf, wenn die Zweigzeitkonstanten ungleich sind (R ₁ C ₁ ≠ R ₂ C ₂ , z. B. ein Flügel mit verengtem Bronchus), und auch bei gleichen Zweigzeitkonstanten, sobald die Anfangsbedingungen asymmetrisch sind (u _C1 ≠ u _C2 ). Sie klingt mit 0,10 s ab – deutlich schneller als der Atemzug. Von der Atemwegsöffnung aus gesehen verhält sich das Netzwerk bei R ₁ C ₁ = R ₂ C ₂ exakt wie ein einziges RC-Glied mit R = R _T + R ₁ ∥R ₂ ≈ 4,11 cmH₂O·s/L und C = C ₁ + C ₂ = 0,09 L/cmH₂O.

Abb. 2 zeigt dasselbe in Bewegung: Links atmet die Lunge, rechts lädt und entlädt sich das Ersatzschaltbild im selben Takt. Unten laufen Ladung und Strom mit – sie sind zugleich Lungenvolumen und Atemfluss.

Pause Echtzeit Lerntempo: ca. 3× langsamer als ein echter Atemzug. G1, G2: ideale Gleichspannungsquellen (zeitlich konstant); zeitabhängig wird u(t) erst durch den Umschalter S1, den die Zeitsteuerung K1 im Takt T _I /T _E umlegt.

Pneumatik (Lunge)

$$P(t)=R_T({\dot{V}}_1+{\dot{V}}_2)+R_1{\dot{V}}_1+\frac{V_1}{C_1}$$

$$R_1{\dot{V}}_1+\frac{V_1}{C_1}=R_2{\dot{V}}_2+\frac{V_2}{C_2}$$

$${\dot{V}}_k=\frac{d{V}_k}{dt},{\tau }_{\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}}=0,37s,{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}}=0,10s$$

$$P(t)=P_I\text{(Einatmung)},P(t)=P_{EEP}\text{(Ausatmung, passiv)}$$

Elektrik (Ersatzschaltbild)

$$u(t)=R_T(i_1+i_2)+R_1{i}_1+\frac{q_1}{C_1}$$

$$R_1{i}_1+\frac{q_1}{C_1}=R_2{i}_2+\frac{q_2}{C_2}$$

$$i_k=\frac{d{q}_k}{dt},{\tau }_{1,2}=-\frac{1}{{\lambda }_{1,2}(𝐀)}$$

$$u(t)=U_I\text{(S auf Einatmung)},u(t)=U_{PEEP}\text{(S auf Ausatmung)}$$

Compliance (Dehnbarkeit), medizinisch: Wie viel Luft zusätzlich in die Lunge passt, wenn der Druck um 1 cmH₂O steigt: C = ΔV/ΔP, z. B. 0,05 L/cmH₂O = 50 mL pro cmH₂O. Große Compliance = weiche, leicht dehnbare Lunge; kleine Compliance = steife Lunge (sie braucht mehr Druck für dasselbe Volumen).

Kapazität, elektrisch: Wie viel Ladung ein Kondensator zusätzlich aufnimmt, wenn die Spannung um 1 V steigt: C = Δq/Δu. In der Kennlinie ist beides die Steigung der Geraden.

PEEP = Offset: PEEP ist der Grunddruck, der auch am Ende der Ausatmung bleibt. Elektrisch ist das eine Gleichspannung U _PEEP , um die herum geladen und entladen wird. Gezählt ab dem Ruhevolumen (FRC) beginnt jeder Atemzug darum beim Offset V₀ = C·PEEP (elektrisch q₀ = C·U _PEEP ) – das ist der Achsenabschnitt, ab dem der eigentliche Atemhub ΔV = C·(P _I − PEEP) aufgesetzt wird: V = V₀ + C·(P − PEEP). Leer ist die Lunge auch ohne PEEP nicht: Bei V = 0 enthält sie noch die FRC.

Rolle	Pneumatik (Lunge)	Einheit	Elektrik (Schaltung)	Einheit
Antrieb	Druck P (Beatmungsgerät, Atemmuskulatur)	cmH₂O	Spannung u (Quelle)	V
Menge	Luftvolumen V	L	Ladung q	C (Coulomb)
Bewegung	Volumenstrom V̇ = dV/dt	L/s	Strom i = dq/dt	A
Bremse	Atemwegswiderstand R T (Luftröhre), R 1 , R 2 (Hauptbronchien)	cmH₂O·s/L	Widerstand R	Ω
Speicher	Compliance C 1 , C 2 (Dehnbarkeit der Lungenflügel)	L/cmH₂O	Kapazität C	F
Bezug	Atmosphärendruck	0 cmH₂O	Masse	0 V
Einatmung	Lunge füllt sich		Kondensator lädt
Ausatmung	Lunge entleert sich passiv (Muskeln entspannt)		Umschalter S1 schaltet von U I auf U PEEP , Kondensator entlädt über R
Grundniveau	PEEP / CPAP-Druck	cmH₂O	Gleichspannungsanteil	V
Tempo	Zeitkonstanten: ein Kompartiment τ = R·C; zwei gekoppelte Kompartimente aus den Eigenwerten (hier 0,37 s und 0,10 s)	s	dieselben Zeitkonstanten des RC-Netzwerks	s

Werte 1:1 übertragen: 1 cmH₂O ≙ 1 V, 1 L ≙ 1 C, 1 L/s ≙ 1 A (daher R in Ω, C in F). Modell: R _T = 3, R ₁ = 2, R ₂ = 2,5 cmH₂O·s/L; C ₁ = 0,05, C ₂ = 0,04 L/cmH₂O; 15/5 cmH₂O. Veranschaulichung mit typischen Größen, keine Messwerte, keine Therapieempfehlung.

Warum ein Umschalter? Die Ausatmung in Ruhe ist passiv: Die Atemmuskulatur entspannt sich, und die elastische Rückstellkraft der gedehnten Lunge und Brustwand treibt die Luft hinaus. Im Schaltbild schaltet S1 deshalb von der Einatemquelle G1 auf die PEEP-Quelle G2 um (ohne PEEP auf Masse = Atmosphäre). Der geladene Kondensator entlädt sich dann über dieselben Atemwegswiderstände R _T , R ₁ , R ₂ , durch die er geladen wurde – die Ausatemluft nimmt ja denselben Weg zurück. Ein Schalter, der den Kreis nur öffnet, wäre physikalisch falsch: In einem offenen Kreis fließt kein Strom, der Kondensator bliebe geladen – das entspräche einer Lunge, die bei verschlossenen Atemwegen die Luft anhält.

Mathematisch ist der Umschalter nichts anderes als die Rechteck-Spannungsquelle aus Abschnitt 4 (u = U _I bzw. U _PEEP ); er macht sichtbar, dass die Ausatmung von der im Kondensator gespeicherten Energie getrieben wird: Die Quelle G2 gibt dabei keine Leistung an den Lungenzweig ab (u·i ≤ 0, der Strom fließt gegen ihre Polarität). Das reale Gebläse läuft trotzdem weiter: Es hält das EPAP-Niveau und speist den Leckagestrom der Maske (Abschnitt 6; bei 8 cmH₂O im Modell rund 27 L/min, pneumatisch etwa 0,35 W). Grenzen der Analogie: Bei forcierter Ausatmung, unter Belastung oder bei manchen Lungenerkrankungen arbeitet die Ausatemmuskulatur aktiv mit – im Schaltbild eine zusätzliche Quelle mit umgekehrter Polarität. Und der Ausatemweg kann einen anderen Widerstand haben als der Einatemweg (z. B. Ausatemventil, Maskenöffnung, dynamische Einengung der Atemwege).

3 Einkompartimentmodell: Laden und Entladen

Im einfachsten Modell liegen ein Widerstand R und ein Kondensator C in Reihe zwischen Atemwegsöffnung und Masse. Die Maschenregel liefert die Bewegungsgleichung des respiratorischen Systems [6, 7]:

P _ao ist der Druck an der Atemwegsöffnung, P _mus der von der Atemmuskulatur erzeugte Druck (positiv bei Einatemanstrengung), P ₀ der elastische Rückstelldruck bei V = 0. Wir zählen V ab dem Ruhevolumen des passiven Systems (funktionelle Residualkapazität, FRC); dann ist P ₀ = 0, und der Kondensator ist bei Atmosphärendruck ungeladen. Bei einem passiven Patienten (P _mus = 0) und einem Drucksprung von P _E auf P _I zur Zeit t = 0 ist das die Ladekurve eines RC-Glieds:

Der Einatemstrom springt also auf seinen Höchstwert (P _I − P _E )/R und fällt exponentiell ab, während sich der Kondensator füllt. Beim Rückschalten auf P _E entlädt sich der Kondensator über denselben Widerstand: Der Ausatemstrom ist negativ und klingt mit derselben Zeitkonstante ab. Nach 3τ sind 95 %, nach 5τ 99 % des Endwerts erreicht.

Ab hier verwenden wir einen eigenständigen, vereinfachten Parametersatz. Er ist keine exakte Reduktion des Zwei-Kompartiment-Modells aus Abschnitt 2 (dessen Eingangsverhalten entspräche R ≈ 4,11 cmH₂O·s/L, C = 0,09 L/cmH₂O, τ = 0,37 s). Für die Rechnungen gelten folgende Modellannahmen: Nasenwiderstand R _n = 2 cmH₂O·s/L, Widerstand der unteren Atemwege R _aw = 2 cmH₂O·s/L, Compliance des respiratorischen Systems (Lunge und Brustwand) C = 0,05 L/cmH₂O. Daraus folgt τ = 4 · 0,05 = 0,2 s. Bei obstruktiven Atemwegserkrankungen steigt R deutlich, und τ wird entsprechend länger.

Nichtlinearer Widerstand. Bei turbulenter Strömung wächst der Druckabfall überproportional mit dem Fluss. Rohrer beschrieb das mit [1]

Der erste Term ist laminar, der zweite turbulent. Im Schaltbild ist das ein stromabhängiger Widerstand; die Zeitkonstante ist dann keine Konstante mehr, sondern hängt vom Arbeitspunkt ab.

Inertanz und Frequenzgang. Mit der Inertanz I der Gassäule wird aus dem RC- ein RLC-Glied mit der Eingangsimpedanz

Mit dem angenommenen Wert I ≈ 0,01 cmH₂O·s²/L und C = 0,05 L/cmH₂O heben sich induktive und kapazitive Reaktanz bei f ₀ = 1/(2π√(I·C)) ≈ 7,1 Hz auf; in der Oszillometrie heißt diese Frequenz mit Reaktanz null Resonanzfrequenz [16]. Wegen der starken Dämpfung (Güte Q = √(I/C)/R ≈ 0,11) zeigt das Modell dort keine ausgeprägte Schwingung, und der Rechenwert ist keine gemessene Resonanzfrequenz einer menschlichen Lunge. Bei Atemfrequenzen um 0,25 Hz ist der induktive Anteil vernachlässigbar (2π·f·I ≈ 0,016 gegenüber R = 4 cmH₂O·s/L); wichtig wird er erst bei der Oszillometrie, die diese Impedanz im Bereich mehrerer Hertz misst [5, 16].

4 PEEP im Ersatzschaltbild

PEEP ist eine Gleichspannung, die in Reihe vor dem RC-Glied liegt: Der Kondensator entlädt sich am Ende der Ausatmung nicht mehr auf null, sondern nur bis auf C·PEEP. Im linearen Modell steigt das endexspiratorische Lungenvolumen gegenüber dem Ruhevolumen (FRC) deshalb um

Mit C = 0,05 L/cmH₂O und PEEP = 8 cmH₂O ergibt sich im linearen Modell ein Volumenzuwachs von 0,40 L. Der tatsächliche Zuwachs hängt jedoch von der nichtlinearen Druck-Volumen-Kennlinie ab: Öffnen sich zuvor verschlossene Alveolen (Rekrutierung), steigt die Compliance, bei Überdehnung sinkt sie [17, 18]. Je nach Ausgangszustand kann das lineare Modell den Volumenzuwachs daher über- oder unterschätzen. Bei CPAP ist das gesamte Druckniveau eine solche Gleichspannung, die Atemarbeit leistet weiterhin der Patient über P _mus .

Intrinsischer PEEP. Bei Bilevel-Druck wechselt die Quelle periodisch zwischen P _I (Einatmung, Dauer T _I ) und P _E (Ausatmung, Dauer T _E ). Ist T _E nicht viel länger als τ, entlädt sich der Kondensator nicht vollständig. Mit a = e ^{−T _I /τ} und b = e ^{−T _E /τ} folgt aus der Periodizitätsbedingung des eingeschwungenen Zustands:

Die Herleitung: Am Ende der Einatmung gilt x ₁ = P _I + (x ₀ − P _I )·a, am Ende der Ausatmung x ₀ = P _E + (x ₁ − P _E )·b, mit x = V/C. Auflösen nach x ₀ liefert den intrinsischen PEEP, die Differenz x ₁ − x ₀ das Atemzugvolumen. Für P _I = 14 und P _E = 8 cmH₂O, T _I = 1,2 s und C = 0,05 L/cmH₂O:

Ein hoher Widerstand verlängert τ, eine hohe Atemfrequenz verkürzt T _E . Beides lässt Ladung im Kondensator zurück; im Schaltbild ist der intrinsische PEEP genau diese Restspannung.

5 Obere Atemwege als Starling-Widerstand

Der Rachen ist ein kollabierbares Rohr. Er verhält sich wie ein Starling-Widerstand: Liegt der Druck im Rohr unter dem kritischen Verschlussdruck P _crit , fällt es zusammen [9, 10, 11]. Mit dem Druck vor der Engstelle P _u (Nase, Maske), dem Druck dahinter P _d (Luftröhre) und dem Widerstand R _n des vorgeschalteten Abschnitts lautet ein vereinfachtes, quasistatisches Modell, das vor allem die Einatmung beschreibt [10]:

Die Formel enthält drei Bereiche. Liegen beide Drücke über P _crit , ist das Rohr offen und verhält sich ohmsch. Liegt nur P _d darunter, ist der Fluss auf (P _u − P _crit )/R _n begrenzt, unabhängig von der Einatemanstrengung: Flusslimitierung. Liegt auch P _u unter P _crit , ist der Fluss null: Verschluss, im Schlaf eine obstruktive Apnoe.

Im Schaltbild ist das ein spannungsgesteuerter Widerstand, vergleichbar einem Sperrschicht-Feldeffekttransistor, dessen Kanal sich unterhalb einer Schwellspannung abschnürt. Bei Gesunden liegt P _crit im Schlaf deutlich im Negativen, in einer Übersicht etwa bei −13 cmH₂O; bei obstruktiver Schlafapnoe liegt er typischerweise um oder über null [11].

Die Wirkung von CPAP ist in diesem Bild elementar: CPAP hebt P _u über P _crit und hält so den Kanal offen. Sullivan et al. beschrieben das 1981 als pneumatische Schienung [12]. Die Gleichspannung PEEP aus Abschnitt 4 hat damit zwei Wirkungen: Sie verschiebt den Ladezustand des Lungenkondensators, und sie schaltet den Starling-Widerstand in den leitenden Bereich. Gold und Schwartz nutzten genau diesen Zusammenhang, um P _crit über stufenweise abgesenkten Nasendruck zu messen [10].

6 Das Gebläse als drehzahlgesteuerte Quelle

In Abschnitt 3 und 4 wurde die Druckquelle als ideale Spannungsquelle mit Umschalter behandelt. Ein CPAP- oder Bilevel-Gerät erzeugt den Druck aber mit einem kleinen Radialgebläse, dessen Drucksprung von der Drehzahl und vom eigenen Förderstrom abhängt. Statt zu schalten, moduliert das Gerät die Motordrehzahl n.

Der Regler misst den Maskendruck und gibt die Solldrehzahl vor. Strom fließt vom Gebläse über seinen Innenwiderstand zum Maskenknoten, teilt sich dort in Leckage und Patientenfluss und lädt über Rachen und untere Atemwege den Lungenkondensator.

Kennlinie. Nach den Affinitätsgesetzen der Turbomaschinen wächst der Druck bei ähnlichen Betriebspunkten mit n² und der Förderstrom mit n [13]. Als einfache Modellannahme (keine gemessene Kennlinie) verwenden wir für die Kennlinie einschließlich des quadratischen Verlusts im Schlauch

P _m ist der Maskendruck, Q _f der Förderstrom des Gebläses. Im Schaltbild ist das eine Spannungsquelle a·n², gesteuert durch die Drehzahl, mit einem nichtlinearen Innenwiderstand. Gewählt wurden a = 0,045 cmH₂O/krpm² und b = 8 cmH₂O·s²/L², Ohne Förderstrom ergäben sich 8 cmH₂O bei n = √(8/a) ≈ 13 300 min⁻¹. Im Betrieb fördert das Gebläse aber ständig den Leckagestrom der Maske (bei 8 cmH₂O rund 27 L/min, siehe unten); der Verlust b·Q² hebt den Arbeitspunkt auf rund 14 600 min⁻¹.

Motordynamik. Rotor und Laufrad haben ein Trägheitsmoment, die Drehzahl folgt dem Sollwert also verzögert. Für die Simulation genügt ein Verzögerungsglied erster Ordnung mit der Zeitkonstante τ _m = 50 ms:

Maskenleckage. Masken für CPAP-Geräte mit Einschlauchsystem haben eine gewollte Ausatemöffnung, über die ausgeatmetes CO₂ entweicht. Sie wirkt wie eine Blende mit Q _v = k _v ·√P _m ; mit k _v = 0,158 L/(s·√cmH₂O) fließen im Modell bei 10 cmH₂O ständig rund 30 L/min ab (Modellwert). Im Schaltbild ist das ein nichtlinearer Leitwert vom Maskenknoten nach Masse.

Knotengleichung. Am Maskenknoten teilt sich der Förderstrom in Leckage und Patientenfluss:

Regelung. Ein PI-Regler führt die Solldrehzahl nach, bis der Maskendruck seinem Sollwert P _soll (t) folgt:

Mit K _p = 0,8 krpm/cmH₂O und K _i = 25 krpm/(cmH₂O·s). Die Solldrehzahl ist auf 0 bis 40 krpm begrenzt; eine Anti-Windup-Maßnahme ist nicht implementiert. In den gezeigten Fällen bleibt die Drehzahl zwischen 11,5 und 26,7 krpm, die Begrenzung greift also nicht. Damit ist die Kette geschlossen: Der Sollwertsprung erzeugt einen Drehzahlsprung, der Drehzahlsprung einen Drucksprung am Maskenknoten, und dieser lädt den Lungenkondensator über die Widerstände der oberen und unteren Atemwege.

7 Simulation: Atmen durch Drehzahlmodulation

Das Modell aus Abschnitt 6 wurde mit dem expliziten Euler-Verfahren (Schrittweite 1 ms) gelöst; die algebraische Knotengleichung wird in jedem Schritt mit einem Nullstellenverfahren (Brent) erfüllt. Parameter: C = 0,05 L/cmH₂O, R _n = R _aw = 2 cmH₂O·s/L, τ = 0,2 s.

Fall A: Bilevel 14/8 cmH₂O, passiver Patient. Der Solldruck springt alle 4 s für 1,2 s von 8 auf 14 cmH₂O. Das Gebläse setzt das in einen Drehzahlhub um, und der Lungenkondensator lädt und entlädt sich:

Die Verifikation gegen die geschlossene Lösung aus Abschnitt 4 gelingt: Das endexspiratorische Volumen liegt bei 400 mL = C·PEEP, das Atemzugvolumen bei 305 mL gegenüber 299 mL analytisch, eine Abweichung von 2 %. Der Maskendruck erreicht 90 % des Sprungs nach rund 0,16 s; der Einatemfluss steigt deshalb nur auf 54 statt 90 L/min, der Ausatemfluss auf −58 statt −90 L/min. Danach überschwingt der PI-Regler auf 15,2 cmH₂O (nach etwa 0,34 s), beim Rückschalten fällt der Maskendruck kurz auf 7,3 cmH₂O. Beide Effekte lassen sich trennen, indem man dasselbe RC-Glied mit dem simulierten Maskendruck speist: Begrenzt man diesen auf den Bereich 8 bis 14 cmH₂O (nur verzögerter Anstieg, kein Überschwingen), ergeben sich 298,5 mL, also etwas weniger als 299 mL. Die 6 mL Mehrvolumen stammen damit aus dem Überschwingen, nicht aus der Verzögerung.

Fall B: CPAP 8 cmH₂O, Spontanatmung. Jetzt bleibt der Solldruck konstant, und der Patient atmet selbst: P _mus (t) ist eine Sinushalbwelle mit 4 cmH₂O Amplitude und 1,6 s Dauer, alle 4 s.

Der Patient zieht während der Einatmung Strom aus dem Maskenknoten. Ohne Regelung würde der Maskendruck einbrechen, weil das Gebläse bei fester Drehzahl einen Innenwiderstand hat. Der PI-Regler hebt die Drehzahl deshalb um gut 2 000 min⁻¹ an und senkt sie in der Ausatmung wieder ab; der Maskendruck bleibt innerhalb von etwa ±0,3 cmH₂O um den Sollwert. Das Atemzugvolumen beträgt 195 mL, annähernd C · P _{mus ,max} = 200 mL. Für die Lunge ist CPAP also tatsächlich eine Gleichspannung; für den Motor ist es eine ständig nachgeführte Last.

Fall C: Starling-Widerstand mit P _crit = +6 cmH₂O. Derselbe Atemantrieb wie in Fall B, aber mit kollabierbarem Rachensegment und einem bewusst hoch gewählten kritischen Druck. Bei CPAP 4 cmH₂O liegt der Maskendruck unter P _crit : Das Segment ist geschlossen, der Fluss ist null, das Atemzugvolumen ebenfalls – im Modell eine obstruktive Apnoe trotz Atemanstrengung. Bei CPAP 10 cmH₂O liegt der Druck über P _crit : Das Segment leitet, und das Atemzugvolumen beträgt wieder 195 mL wie ohne Kollaps. Im Modell entscheidet bei gleichem Atemantrieb die Lage der Gleichspannung relativ zur Schwellspannung des Starling-Widerstands.

8 Diskussion und Grenzen

Das RC-Modell beschreibt die passive Lungenmechanik bei Ruheatmung in erster Näherung – dass schon dabei mehr als ein RC-Glied nötig sein kann, zeigten Bates et al. [4] –, und es macht die Wirkung von PEEP und CPAP als Gleichspannung unmittelbar anschaulich. Die Simulation zeigt darüber hinaus, dass ein reales Gebläse kein Schalter ist: Seine Dynamik formt den Fluss; das Atemzugvolumen ändert sich im Beispiel nur um 2 %, und diese Änderung geht auf das Überschwingen des Reglers zurück.

Die Grenzen sind ebenso klar:

• Ein Kompartiment ist eine Vereinfachung. Eine reale Lunge hat Bereiche mit unterschiedlichen Zeitkonstanten; Bates et al. zeigten, dass dazu viskoelastische Elemente gehören [4, 5]; Li et al. vergleichen Ein- und Zwei-Kompartiment-Modelle sowie fraktionale Erweiterungen an Beatmungsdaten von drei Bama-Minischweinen, nicht an Menschen [14]. Im Schaltbild sind das parallele RC-Zweige wie in Abb. 1 und zusätzliche Kondensatoren mit eigenen Entladewiderständen.
• Compliance und Widerstand sind nichtlinear. Die Druck-Volumen-Kurve ist s-förmig [17]: Rekrutierung kann C erhöhen, Überdehnung senkt C [18]; R hängt nach Rohrer vom Fluss ab [1]. Das lineare Modell kann den Volumenzuwachs durch PEEP deshalb je nach Ausgangszustand über- oder unterschätzen.
• Der Starling-Widerstand ist ein Grenzfall. Neuere Arbeiten berichten negative Anstrengungsabhängigkeit im flusslimitierten Bereich, die das klassische Modell nicht abbildet [11]. Wiederöffnung (Hysterese) und das Verhalten bei der Ausatmung beschreibt es nur grob.
• Rückströmung ins Gebläse. Im Fall A sagt das Modell beim Druckabfall zu Beginn der Ausatmung für rund 0,3 s einen negativen Förderstrom bis etwa −30 L/min voraus: Ausatemluft strömt vom Maskenknoten zurück in Richtung Gebläse. Die Kennlinie ist für negative Förderströme nur symmetrisch extrapoliert und nicht validiert; wie reale Geräte mit Rückströmung umgehen, hängt von Gebläse, Strömungsführung und Regelung ab und wird hier nicht modelliert.
• Die Gebläseparameter sind generisch. a, b und τ _m sind plausible Größen für kleine Radialgebläse, keine Daten eines bestimmten Geräts. Reale Kennlinien enthalten zusätzlich vom Förderstrom und der Drehzahl abhängige Terme. Für eine Reglerauslegung wären gemessene Kennlinien, Drehzahlgrenzen und Anti-Windup nötig; reale Geräte verwenden außerdem eigene Regelstrategien, Leckageerkennung und Rampen.
• P _mus ist vorgegeben. In Wirklichkeit reagiert der Atemantrieb auf Druck, Volumen und Blutgase; dieser Regelkreis fehlt im Modell.

Für die Lehre und für die Auslegung von Prüfständen ist das Modell dennoch nützlich: Ein Prüflungensimulator aus Balg (Kondensator) und Blende (Widerstand) ist nichts anderes als dieses Ersatzschaltbild in Hardware, und an ihm lassen sich Druckstabilität und Ansprechzeit eines Gebläses messen. Ein solcher Vergleich von Messung und Simulation steht für dieses Modell noch aus; die hier gezeigten Ergebnisse sind reine Rechenergebnisse. Grundlegende Sicherheits- und Leistungsanforderungen an Schlafapnoe-Therapiegeräte regelt ISO 80601-2-70 [19]; die hier beschriebenen Rechnungen sind keine Prüfung nach dieser Norm.

9 Literatur

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Die Simulation wurde mit Python (NumPy, SciPy) erstellt.